Hava Direnci nedir – Hava Direnci ile ilgili örnekler

Yerden yükseklikteki bölgelerde hareket eden cisimlerin yaptıkları hareketlere yeryüzünde hareketler denir Bu hareketlerde; havanın direnci önemsiz sayılırsa cisim her an yerçekimi ivmesine sahip olur
Hava direnci,
Hava ortamında hareket eden cisimler daima hava molekülleriyle temas halinde olduklarından aralarında sürtünmeden dolayı bir kuvvet oluşur Bu kuvvete havanın direnci denir ve Fh = k  a  J2 bağıntısı ile verilir Burada,
k: cisimle hava arsındaki direnç kat sayısı
A: cismin hareket doğrultusuna dik olan en büyük kesiti
J: cismin hava ortamına göre hızıdır Eğer cisim duruyor ve hava hareketli ise buradaki J hızı havanın hızıdır
UYARI: Ağırlığın çok küçük olduğu cisimler için havanın direnç kuvveti cismin hızıyla doğru orantılı
olur
Yerden yüksekteki bir noktadan serbest bırakılan bir cismin hareketine serbest düşme denir y
Cismin hareketini incelemek için bir koordinat sisteminin orijininden başlatalım
m
Cismin bırakıldığı andan itibaren aşağıya doğru yerçekimi, yukarıya doğru havanın
direnci kuvvetlerinin etkisinde kalır Bunların etkisinde cisim, x
a = Fnet = G – Fh a = m  g – k A J2 G =mg
m m m ivmesi ile hızlanmaya başlar Hız Fh
artınca Fh artar ve cismin ivmesi azalır İvme azalsada cisim hızlanmaya ve havanın
direnci artmaya devam eder Bu artış havanın direnci cismin ağırlığına eşit oluncaya
kadar devam eder Fh = G eşitliğini sağlayan hıza cismin limit hızı denir
Limit hız hava ortamında hareket eden cisimlerin ulaşabilecekleri maksimum hızdır O
Cisim limit hıza ulaştıktan sonra hareketinin kalan bölümünü sabit hızla sürdürür
G
k  A  J2limit
Limit hız: Fh = G k  A  J2limit = mg Vlimit = √m  g
kA
G = mg
bağıntısından bulunur yer
ÖRNEK Havanın direncinin etkisinde kalan,serbest düşe bir cismin hız-zaman grafiği nasıl olur?
θ
ÇÖZÜM Havanın direnci etkisinde serbest düşen cisim azalan ivme ile hızlanır
ve limit hıza ulaştıktan sonra sabit hızla hareketini sürdürür θlimit
t
Havanın direnci önemsiz kabul edilirse ; a= Fnet = G – Fk = mg – 0 a = g bulunur
m m m
Bu durumda serbest düşme hareketi a = g ivmesi ile yapılan ters yönde m
düzgün hızlanan hareket olur Hareketlinin hareket denklemleri ;
V = g  t h a = g
Y = ½ gt2
V = √2gh
Hareket Grafikleri:
J a = -g
h
0 0 0
t t t
-g
ÖRNEK Yerden 320 m Yüksekten serbest bırakılan bir cisim kaç sn sonra yere çarpar, hızı kaç m/sn olur?
(g = 10m/s2)
ÇÖZÜM Cisim serbest düşme hareketi yapacağından h = ½ gt2 , V = gt ve V = √2gh bağıntıları geçerlidir
h = 320 m 320 = ½  10  t2 t2 = 64 t = 8
g = 10m/s2 V = gt = 108 V = 80 m/s bulunur
ÖRNEK Serbest düşmeye bırakılan bir cisim, hareketinin son iki saniyesi içinde 60 m 60 m yol alarak yere çarptığına göre kaç metre yüksekten bırakılmıştır? (g = 10 m/s2)
ÇÖZÜM Problemin çözümü için şekli inceleyelim
Cisim yere t s de inmiş olsun h = ½ gt2 h1
Yere inmeden 2sn öncesine kadar t1 sn hareket ederek h1 yolunu h
almışsa ; h1 = ½ gt21 dir t1 sn
t1 = t -2 ve h – h1 = 60 yazabiliriz
Son ifadelerde değerler yerlerine konulursa;
½ gt2 – ½ gt21 = 60 ½  10  t2 – ½ 10(t-2)2 = 60 t sn
5 t2 -( t2 -4t +4) = 60 t2 – t2 +4t -4 = 12 4t = 16 t = 4 60 sn
Cisim yere 4 sn de indiğinden h = ½  10  42 = 80 m yükseklikten serbest ∆t = 2s
bırakılmıştır
ÖRNEK belli bir yükseklikten serbest düşmeye bırakılan bir cisim 2t sürede yere varıyor Bu cisim düştüğü yüksekliğin ilk ¼ ünü kaç t sürede alır? (sürtünme yok)
J (m/s)
ÇÖZÜM h/4 = ½ gt’2 2t
2gt2 = ½ gt’2 t’ = t t
4
t sürede alır Ayrıca grafikte benzerlikler kullanılarak sonuç bulunur
-2gt
Bir cisme düşey doğrultuda bir hız verilerek yapılan atış hareketine denir
Havanın direnci ihtimal edilirse; m
Şekildeki gibi J0 ilk hızıyla atılan bir cisim atıldığı andan itibaren yer çekimi
(G=mg) kuvvetinin etkisi ile (-y) yönünde düzgün hızlanır
Hareketin denklemi:
J0
V = V0 + gt
h = V0  t + ½ gt’2 Fy = G h
V = √V02 + 2gh
y = – V0 t + ½ at’2
Grafikler:
h J a
0 t 0 t 0 t
-J0
-g
Yerden şekildeki gibi düşey olarak yukarıya doğru atılan bir cisim; atıldığı andan
itibaren yerçekimi kuvvetinin etkisiyle düzgün yavaşlar Hızı bir an sıfır olduktan sonra
aynı ivme ile düzgün hızlanarak atıldığı yere geri döner
Öyleyse yukarıya doğru düşey atış hareketi; yerçekimi kuvvetinin etkisinde düzgün
yavaşlayan harekettir Y J0
Hareket denklemi; m x
V = J0 – gt Hız denklemi
h = V0  t – ½ gt’2 Yol denklemi
V = √J0 – 2gh
Hareket yavaşlayan bir hareket olduğundan belli bir süre yükselecektir Yükselme süresine çıkış süresi ve bu süre içinde aldığı yola da maksimum yükseklik denir Çıkış süresi ve maksimum yükseklik:
tçık = J0 / g , hmax = J02 / 2g bağıntıları ile verilir
Hareketin Grafikleri:
h V a
J0
hmax
tçık 2tçık A1 tçık 2tçık t t
0 0 0
A2
-g
-J0
A1 = A2 = hmax
Uyarılar:
Aşağıdan yukarıya düşey atış hareketinde;
Cismin hızı, alacağı yol, çıkış süresi ve maksimum yükseklik kütlesinden bağımsıdır
Çıkış süresi iniş süresine eşittir Ayrıca cisim yörüngesi üzerindeki iki nokta arasını çıkarken ve inerken eşit zamanlarda alınır C
tOC = cismin O’ dan C’ ye varış süresi
tCO = cismin C’ den O’ ya dönüş süresi
tAB = cismin A’ dan B’ ye varış süresi B
tBA = cismin B’ den A’ ya dönüş süresi
tBC = cismin B’ den C’ ye varış süresi hmax
tCB = cismin C’ den B’ ye dönüş süresi J0
olmak üzere tOC = tCO ; tAB = tBA , tBC = tCB , tAC = tCA , tOA = tAO olur
J = √ J02 – 2gh bağıntısına göre; cisim yolu üzerindeki bir noktadan yukarıya ve aşağıya eşit büyüklükteki hızlarla geçer Bu özelliğe bağlı olarak cisim atıldığı noktaya ilk hızına eşit ve zıt yönde bir hızla çarpar
Cismin ivmesi her an yer çekimi ivmesine eşittir Tepe noktasında hızı sıfır olduğu halde, ivmesi yer çekimi ivmesine eşittir
Düşey doğrultuda hareket etmekte olan bir sistemden bir cisim bırakılırsa; cisim bırakıldığı anda yerdeki gözlemciye göre; sistemin hızı ile atılmış bir cisim gibi davranır
Atıldığı yere düşen cismin hızındaki değişimin büyüklüğü 2J0 dır Bu değişim g, t, h dan bağımsızdır(g ≠ 0)
J0
Cismin herhangi bir anda yere uzaklığı (y)
y = h + V0 t – ½ gt2 olup uçuş süresi sonunda y = 0 olur J0
tuçuş süresi için; hmax
-h = V0 tuçuş – ½ gtuçuş2 alınır h
UYARI: Hareketlinin uçuş süresi verilirse -h = V0 t – ½ gt2 denklemi ile istenilen bilgiye ulaşılır
Uçuş süresi dışında verilen büyüklükler yardımı ile problem çözümü için hareket hmax yüksekliğine kadar
yukarı yönde düşey atış ve max yükseklikten itibaren serbest düşme hareketi olarak incelenebilir
ÖRNEK V₀ hızıyla yükselmekte olan balon yerden h = 135m yüksekte iken
Bırakılan taş yere 9 sn sonra düşüyor Balonun yükselme hızı kaç m/sn dir?
(g = 10m/sn²)
ÇÖZÜM -h = V0 tuçuş – ½ gtuçuş2
-135 = V₀  9 , ½ 10  (9)²
-135 = 9J – 405
9J₀ = 270
J₀ = 20 m/sn
h = 135m
y
ÖRNEK Yerden yukarıya doğru düşey olarak atılan bir cismin hız zaman
grafiği şekildeki gibidir Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik J₀
kaç metredir? (g = 10 m/s² )
ÇÖZÜM Grafikten cismin çıkış süresinin 3 s olduğu bulunur 0 3
tçıkış = J₀ /g den J₀ /10 = 3 J₀ = 30m/s
hmax = J₀² = 30² = 900 hmax = 45 m bulunur -J₀
2g 210 20
Yerden yüksekteki bir noktadan yatay olarak J₀ hızı ile atılan bir cismin 0
Yapacağı harekete yatay atış denir Bir cisim O noktasından J₀ ilk hızıyla J₀
Yatay doğrultuda fırlatıldığı anda A noktasından bir cisim yatay doğrultuda J₀ Jy V
İlk hızıyla, B noktasından ikinci bir cisim serbest düşmeye bırakılırsa cisimler
aynı anda C noktasına ulaşırlar O halde, h
Yatay olarak atılan cisim atıldığı andan itibaren yatayda herhangi bir
kuvvetin etkisi altında kalmadığından (Fhava = 0) yatay doğrultuda sabit ilk
hızı ile düzgün doğrusal hareket yapar Cismin yatay hareketine ait denklemler
ve grafikler ; J₀
Fx = 0 ax = 0
Vx = V0 Jx = J₀ X
X = V₀ t olur
J₀ x
Alan = J0t = x tgα = J0
α
Vy = gt, h = ½ g + t2
Hareketin düşey bileşenine ait grafikler,
Cisim atıldığı andan beri düşey doğrultuda ise yerçekimi kuvvetinin etkisi ile serbest düşme hareketi yapar
Hareketin düşey bileşenine ait denklemler ve grafikler,
Jy = -gt y = -½ g t2
t t t
α
Alan = y
tgα = g
Sonuç olarak yatay atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal (sabit hızlı) hareket ile düşeyde düzgün hızlanan (sabit ivmeli) hareketlerin bileşkesi olan bir bileşik harekettir
Yörünge: Bir hareketlinin izlediği yola denir
Birleşik hareket yapan bir hareketlinin yörünge denklemini bulmak içim iki boyuttaki hareket denklemleri arasında zaman yok edilir
X= J₀  t t = (X /J₀) bu ifade h =½ g t2 de yerine konulursa,
h =½ g  (x² /J₀²) h = (g /2J₀²)  X² bulunur Bu ifade bir parabol olup yatay atılan cismin yörüngesini
verir
UYARI: Bir hareketlinin hız vektörü daima yörüngesine teğettir
y
J0
0 x
y = ½ g t2 θ
J
J = -gt
x = J0 t Jx = J0 yer
Jy Jyer
Cismin herhangi bir andaki yönü ve büyüklüğü şekilde bulunur
Hızını doğrultusu: tgθ = (Jy / Jx ) = (-g  t) / J0
Büyüklüğü de : J = √Jx² + Jy² den bulnur
Vx ve Vy diğerleri yerine konulup işlem yapılırsa;
θ Jx = J0
V = √ V₀² + 2g  y olur
J Jy =gt
ÖRNEK Şekildeki gibi yatay atılan bir cisim kaç s de yere iner? (g= 10m/sn²) 0
J₀ = 30 m/s
ÇÖZÜM Birleşik hareket yapan bir cismin hareket süresi bileşenlerinin hareket
süresine eşittir Yatay atışta cismin hareketini düşey bileşeni: h = -½ g t2 dir h = 80 m
h = 80 m
g = 10 m/s² -80 = -½ g t2 a160 = 10  t² t = 4s
0 J₀
ÖRNEK O noktasından yatay olarak atılan cisim şekildeki gibi
yere çarpıyor J₀ ilk hızı kaç m/s dir ? (hava direnci önemsiz,
g = 10m/s², sin53° = 0,8 , cos53° = 0,6)
53°
ÇÖZÜM Hareketi yatay bileşeni düzgün doğrusal olduğundan Jx =J0
yatay hızı değişmez 53°
J₀ = Jx = J  cos53° =30 0,6 J₀ = 18 m/s J = 30 m/s Jy
Bir cisme yerden ; yatay ile belli bir açı yapacak şekilde bir ilk hız y = Joy  t -½ g t2 A
verilerek yapılan atış hareketine eğik atış denir Cismin ilk hızının J = 0
bileşenleri, J₀x = J₀  cos α ; J₀y = J₀  sin α dır B
Bir cisim O noktasından A noktasındaki bir cisme nişan alınarak
J₀ ilk hızıyla fırlatıldığı anda A daki cisim serbest düşmeye bırakılırsa J oy  t OA = Jo t
cisimler B noktasında karşılaşırlar O halde; J oy Jo
Eğik atılan cisim atıldığı andan itibaren yatay doğrultuda herhangi
bir kuvvetin etkisi altında olmadığından (havanın direnci önemsiz) ilk
hızının yatay bileşeni ile düzgün doğrusal hareket yapar Hareketin yatay α Jox
bileşenlerinin denklemleri: O
Jox  t
fy = -g = -mg
Fx = 0 ax = 0
Vx = V0 Cos α
X = Vx t = V0 Cos α t
Hareketin yatay bileşenlerinin grafikleri
Jx (m/s) X
J0x x
Alan = xmax
α
0 tuçuş t(s) 0 t t(s)
Düşey doğrultuda ise cisim yerçekimi kuvvetinin etkisi ile, ilk hızı J0y olan yukarıya doğru düşey atış hareketi yapar
Hareket denklemleri:
Fy = G ay = g
Vy = V0 Sin α – gt
h = V0Sin αt -½ g t2
tçıkış = (V0 Sinα) / g
hmax = (V0 sinα)² / g şeklinde olur
Hareketin düşey bileşenleri:
Jx(m/s)
J0y
Alan = hmax hmax
tçık 2tçık
0 t(s) 0 t(s) tçık 2tçık
Alan = hmax
-J0y
Öyleyse eğik atış hareketi; yatayda düzgün doğrusal hareket ile düşeyde, yukarıya doğru düşey atış hareketlerinin bileşkesi olan bir bileşik hareketidir
Eğik atış hareketi yapan cismin alabileceği en uzak yatay mesafeye menzil denir
Xmenzil = J0  (cosα) tuçuş tuçuş = (2J0 sin α) / g
Xmenzil = J0 cosα (2J0 sinα) / g Xmenzil = (J0 sin2α) / g bulunur
Özellikler:
Hareketin yörüngesi X = J 0x  t ve h = J0y t -½ g t2 denklemleri arasında (t) nin yok edilmesi ile bulunur şekildeki gibidir
Jy JK T JT = J0x = J0  cosα
K θ L Jx = J0x = J0 cosα
J x = J0x hm = J0y² / 2g
J0
0 α
xm = J0xtuçuş
Cismin hız vektörü yörüngesine teğettir Cisim ilk hızının J0y bileşeni sıfır oluncaya kadar yükselir, daha sonra da alçalır
Hızın Jy bileşeni değişken olduğundan daima hız vektörünün yönü ve büyüklüğü değişkendir
Hızın doğrultusu tgθ = Jy / Jx den bulunur
Tepe noktasında J y = 0 ve J x = J0 x = J0  cosα dır
Çıkış süresi iniş süresine eşittir
Cisim yörünge üzerindeki aynı yükseklikteki noktalardan eşit büyüklükteki hızlarla geçer
V = √V x ² + V y ² = √V0² – 2gh
Cisim aynı J0 hızı ile değişik açılarda atıldığında α = 45° olunca en uzağa gider Bu durumda menzil maksimum olur
α = 45° iken Xmax = 4hmax dur
Aynı ilk hızlarla atılan iki cisim atış açıları toplamı 90° ise menzilleri eşittir
Cismin hareketi süresince hızındaki değişim büyüklüğü 2J0y ‘dir Bu değişime g, t, h dan bağımsız yalnızca α ve J0 ‘ a bağlıdır [g ≠0]
Eğik atılan cismin maksimum yüksekliğe çıktıktan sonraki hareketi, yavaş atıştır
ÖRNEK şekildeki gibi atılan bir cisim kaç metre yükseğe çıkar? y
(sin53 = 0,8 , cos53 = 0,6 , g = 10 m/s²)
J0 = 50 m/s
x
ÇÖZÜM J0y = J0 sin53 = 50 O,8 = 40m/sn , tçık = Joy / g = 4s 40 Alan
hm =80m
0 4 8
ÖRNEK Şekildeki gibi atılan bir top; B noktasına 4s de vardığına J0
göre, kaç metre yükseğe çıkmıştır (hmax = ?) g= 10m/s² α hmax
A
ÇÖZÜM Eğik atış hareketi yapan topun uçuş süresi 4s olarak verilmiştir O halde
tuçuş = 2J0y / 9 ‘den
J0y = 30 bulunur
Maksimum yükseklik : hmax = J0y ² / 2g idi  önce elde ettiklerimizi yerine koyarsak,
hmax =400/20 den 20m bulunur
ÖRNEK Eğik olarak atıla A, B, C cisimlerinin hız vektörleri gösterilmiştir y
Aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur? C A
Uçuş süreleri : tA = tC = 4tB
Çıktıkları maksimum yükseklikleri,
hA = hC = 16hB
B
Yatayda aldıkları en büyük uzaklıklar; XmA = XmB = 2XmC
x
ÇÖZÜM Cisimlerin ilk hızları düşey ilk hızlarıyla orantılıdır tuçuş = 2J0y / g
Cisimlerin düşey ilk hızları arasındaki bağıntı; J0yC = J0yA = 4J0yB
Uçuş süreleri arasındaki bağıntı; tA = tC = 4tB dir
I yargı doğrudur
Cisimlerin çıktıkları maksimum yükseklik düşey ilk hızlarının karesi ile orantılıdır
hmaxC = hmaxA = 16hmaxB dir
II yargı doğrudur
Yatayda aldıkları maksimum yol: Xmax = J0x  tuçuş bağıntısı ile bulunur
XC = 2J  2  4J / g = 16J² / g
XA = 4J  2  4J / g = 32J² / g
XB = 4J  2  J / g = 8J² / g
Bu içerik internet kaynaklarından yararlanılarak sitemize eklenmiştir
Ekleyen: Mert